Меню
В основе теории уравнений с частными производными лежат понятия параболических, гиперболических и эллиптических уравнений, типичными представителями которых являются уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнения Лапласа и Пуассона. Однако в начале прошлого века в приложениях стали возникать уравнения в частных производных, которые невозможно было отнести к одному из этих классов. В частности, выдающимся французским математиком А. Пуанкаре (1854 – 1912) была получена система уравнений, не разрешенная относительно производных по времени. В дальнейшем уравнения и системы уравнений, не разрешенные относительно выделенной производной, появлялись в работах многих математиков и механиков (например, таковой является система уравнений Навье – Стокса, моделирующая динамику вязкой несжимаемой жидкости, в качестве типичного представителя которой можно взять обыкновенную водопроводную воду).
Систематическое изучение этих уравнений, которое было инициировано фундаментальными работами выдающегося российского математика С. Л. Соболева (1908 – 1989), началось в середине прошлого века. Тогда же возникла традиция называть уравнения и системы уравнений с частными производными, не разрешенные относительно выделенных производных, уравнениями соболевского типа. В настоящее время данные уравнения составляют обширную область неклассических уравнений математической физики, а исследования этих уравнений переживают пору бурного расцвета – только монографий, полностью или частично им посвященных, насчитывается более двух десятков, не говоря уже о тысячах оригинальных статей.
Первоначально исследование уравнений, не разрешенных относительно выделенной производной, велись в основном учениками С.Л. Соболева: Р.А. Александряном, А.Г. Костюченко и Г.А. Эскиным, Т.И. Зеленяком и многими другими. Их результаты инициировали работы В.Н. Врагова, А.И. Кожанова и С.Г. Пяткова по неклассическим уравнениям математической физики. В настоящее время исследования таких уравнений сосредоточено в нескольких математических школах как в России, так и за рубежом. К крупнейшим российским школам относятся иркутская во главе с Н.А. Сидоровым, Ю.Е. Бояринцевым, В.Ф. Чистяковым, екатеринбургская во главе с И.В. Мельниковой, новосибирская, ярчайшими представителями которой наряду с А.И. Кожановым и С.Г. Пятковым являются Г.В. Демиденко и С.В. Успенский и челябинская во главе с Г.А. Свиридюком и В.Е. Федоровым. За рубежом исследования ведутся в Болонье под руководством А. Фавини, в Осаке под руководством А. Яги и в Остине под руководством Р.Е. Шоуолтера.
Коллектив кафедры ведет активный научный поиск в области уравнений соболевского типа, целью которого является создание общей теории и разработка конкретных приложений. На этом направлении уже достигнуты определенные успехи – решены две важнейшие проблемы, поставленные еще первопроходцами. Объяснено несуществование решения задачи Коши для уравнения соболевского типа при произвольных начальных данных пусть даже из плотного множества, и получены условия сильной неустойчивости решений этих уравнений. Так же описана морфология фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа (доказать, что фазовое пространство есть простотое гладкое банахово многообразия, или является сборкой Уитни).
В настоящее время на кафедре
- исследуются стохастические модели математической физики в банаховых пространствах последовательностей, являющихся аналогами пространств Соболева. В качестве операторов, действующих на этих пространствах, берутся многочлены с действительными коэффициентами, и производится перенос теории линейных стохастических уравнений соболевского типа на банаховы пространства последовательностей. Вводятся пространства последовательностей дифференцируемых ≪шумов≫ и исследуется вопрос существование и единственность классического решения задачи Шоуолтера – Сидорова;
- изучаются задачи оптимального, стартового управления и финального наблюдения решений задачи Коши (Шоуолтера – Сидорова) для математической модели соболевского типа. Главным вопросом здесь является нахождение достаточных условий существования оптимального, стартового управления и финального наблюдения слабыми обобщенными решениями исследуемой модели с начальным условием Коши (Шоуолтера – Сидорова);
- продолжается развитие теории полулинейных уравнений соболевского типа высокого порядка. Ведутся исследования существования единственного решения задачи Шоуолтера – Сидорова (Коши);
- распространяется теория уравнений соболевского типа, исследуемых в школе профессора Г.А. Свиридюка, на стохастические модели в пространствах дифференциальных форм, определенных на римановых многообразиях без края;
- разрабатываются численные методы решения обратных спектральных задач для абстрактных дискретных возмущенных полуограниченных операторов;
- проводятся прикладные работы по численному исследованию задач оптимального управления и обратных задач, а также разрабатываются численные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, типичным представителем которых является модель Леонтьева межотраслевого баланса, а также математических моделей Баренблатта – Желтова – Кочиной, Буссинеска и Хоффа и др. Получено доказательство сходимости Галеркинских приближений решений начально-краевых задач для некоторых нелинейных математических моделей, например, математической модели Баренблатта – Гильмана.