РНФ продолжил финансир. исследования математиков из ИЕТН
Проект «Алгоритмы и методы повышения эффективности управления гидродинамическими процессами на основе стохастических систем» реализуется уже второй год подряд под руководством профессора Алены Александровны Замышляевой при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 24-11-20037). Его целью является создание алгоритмов для численного и аналитического решения задач управления процессами, моделируемыми неклассическими уравнениями математической физики.
Научный семинар «Уравнения соболевского типа» проводится каждую неделю, на нем участники представляют результаты своих исследований. Такие обсуждения оказываются чрезвычайно продуктивными и полезными как для молодых учёных, так и для опытных специалистов. Основная цель семинара — активное обсуждение результатов и текущих исследований в области уравнений соболевского типа, направленное на развитие общей математической теории и её применение для решения практических задач.
6 декабря состоялся очередной семинар, где участники обсудили достижения, полученные в рамках проекта.
На втором году реализации проекта основное внимание было уделено созданию математического аппарата и изучению вопроса существования и единственности решений для различных типов начально-краевых задач применительно к детерминированным и стохастическим полу- и нелинейным неклассическим уравнениям математической физики. Результаты аналитического исследования, полученные в течение первого года реализации проекта, стали основой для начала разработки алгоритмов численных методов решения начально-краевых задач и задач управления.
Первой своими результатами поделилась профессор Алёна Александровна Замышляева со своими учениками. Совместно с Евгением Викторовичем Бычковым было проведено исследование начально-краевой задачи для полулинейного уравнения Буссинеска – Лява в цилиндрической области, моделирующих распространение поверхностных волн в мелкой воде с учётом влияния капиллярных сил, дисперсионных явлений, диссипативных процессов и внутренних конвективных потоков. Цыпленковой Ольгой Николаевной были рассмотрены условия существования единственного стартового управления для модели Буссинеска – Лява, а также разработан алгоритм численного решения задачи управления.
Также был заслушан доклад Загребиной Софьи Александровны о проделанной совместно со своей ученицей Соловьевой Натальей Николаевной работе. Они провели качественное и численное исследование математической модели циркуляции крови в ногах человека с учетом сосудистой эластичности и различной проводимости. Модель учитывает важные биофизические процессы: пульсации крови, сопротивления стенок сосудов, скорость кровотока и распределение давления. Для повышения точности введены дополнительные факторы и новые переменные, особое внимание уделено позитивным решениям. Рассмотрены аналогии с моделями гидравлических разрывов, где артериолы трактуются как трещины, а капилляры — как пористые блоки.
В работах Манаковой Натальи Александровны со своей аспиранткой Николаевой Надеждой Геннадьевной было выполнено аналитическое изучение стохастической задачи оптимального управления для модели нелинейной фильтрации с неопределенными начальными условиями. Модель описывает фильтрацию вязкоупругой жидкости в пористой среде, где стохастический процесс отражает давление жидкости. Найдены условия существования решения, состоящего из стохастического процесса (давление жидкости) и детерминированного управления (внешняя нагрузка). Создан алгоритм расчета траекторий и разработана программа для вычислительных экспериментов.
Сагадеева Минзиля Алмасовна исследовала задачу оптимального управления стохастическими вырожденными системами дифференциальных уравнений первого порядка с учетом случайных начальных воздействий и деградации. Показано, что оптимальное управление находится в детерминированной части системы, а стохастическая компонента описывает влияние шумов. Приведена теорема о существовании единственного оптимального управления для заданного случайного начального воздействия.